Probabilidade parte I

Todos sabemos que a matemática está toda interligada e como tal, antes de começar a estudar probabilidade deve primeiro ter conhecimento de alguns requisitos:

• Percentagem;
• Divisão;
• conjuntos;
• Análise combinatória.

A probabilidade é uma das partes da matemática que se preocupa com o estudo e quantificação das incertezas.

• Em várias situações o conceito de incerteza é levado em conta.

Ex:

Um seguro de vida é proporcionalmente mais caro se os fatores de risco forem maiores, ou seja, se a profissão que se exerce corremos mais ou menos riscos, etc.

• Os jogos de lotaria, euromilhões, totoloto, etc, foram planeados tendo em conta as probabilidades de ganho.
• A meteorologia tambem é baseada em conceitos de probabilidade.
• Conceitos de probabilidade são usados tambem em estatistica.

Noção intuitiva:

Imagine uma moeda e as suas duas faces (cara e coroa).
Se lançar-mos a moeda ao ar, sairá aleatóriamente dois casos possíveis, ou cara, ou coroa. Apesar de não sabermos qual será o resultado, sabemos que ambas teem a mesma probabilidade de sair, ou sai cara, ou coroa. Ou seja, no total de chanches deste evento, 50% correspondem a cara e 50% corresponde a coroa.

O matemático Buffon realizou uma experiência, lançando uma moeda 4048 vezes, onde obteve 2048 caras. Se dividirmos as ocorrências de cara (2048) pelo total de ocorrências (4048), obtemos um resultado de 0,50592... - um resultado muito próximo de 50% que corresponde praticamente ao resultado esperado.

Definições:

• Experiência deterministica: são as experiências que mesmo antes de se fazê-las já sabemos qual será o resultado.

Ex:
se misturarmos água com azeite, à partida já sabemos que o azeite ficará à superfície.

• Experiência Aleatória: São as esperiências que conduzem a resultados imprevisiveis.

Ex:
tiramos uma carta de um baralho, qual é a carta que nós iremos tirar?
R: não sabemos, logo é uma experiência aleatória.
Outro exemplo de experiência aleatória é o lançamento de um dado. Se lançarmos um dado, antes do lançamento não podemos saber qual é o nº que sairá. Tambem o lançamento de uma moeda é uma experiência aleatória, pois não podemos prever exatamente se sai cara ou coroa.

• Espaço amostral: É o conjunto de todos os resultados possiveis de uma experiência aleatória.

Ex:
No lançamento de uma moeda, quais são os resultados que podemos obter?
R: Dois, ou sai cara ou coroa, logo cara e coroa são o espaço amostral. S={cara, coroa}, neste caso 2 vai ser o valor do nosso espaço amostral.
No lançamento de um dado comum (um dado comum tem 6 faces, pois há dados diferentes com mais faces para jogos especificos com 12 faces, com 4 faces...), um dado comum tem 6 faces, então 6 vai ser o resultado do nosso espaço amostral. S={1,2,3,4,5,6}.

• Evento: É qualquer subconjunto do espaço amostral.

Ex:

1. sair resultado par num dado: ("E" de evento) E={2,4,6} 
2. obter cara no lançamento de uma moeda: E={cara}.

• Evento impossivel: Aquele que não tem hipóteses de ocorrer.

Ex:
Obter resultado 7 num dado numerado de 1 a 6. E= ᴓ (vazio, não existe resultado possivel).

• Evento certo: Aquele cujo as hipóteses de ocorrer são de 100%, ou seja, aquele que temos a certeza que vai ocorrer. 

Ex:
Obter resultado menor que 7 num dado numerado de 1 a 6. E={1,2,3,4,5,6}, neste caso o evento (E) é igual ao espaço amostral (S)

Tabela de símbolos matemáticos 3ª e última parte

∃	Existe	Indica existência. Ex:∃x ∈Z | x > 3 Significa que existe um x pertencente ao conjunto dos números inteiros tal que x é maior que 3.
C	Está contido	Ex: N C Z, ou seja, o conjunto dos números naturais está contido no conjunto dos números inteiros.
₵	Não está contido	Ex: R₵N, ou seja, o conjunto dos números reais não está contido no conjunto dos números naturais.
Ↄ	Contém	Ex: Z Ↄ N, ou seja, o conjunto dos números inteiros contém o conjunto dos números naturais.
→	se...então	se...então p: Inês vai ao cinema q: Inês vai ver um filme p→ q Se Inês vai ao cinema então ela vai ver um filme.
↔	Se e somente se	se e somente se Ex: p: Carolina vai passar de ano. q: Carolina vai ter boas notas. p↔ q Carolina vai passar de ano se e somente se ela tiver boas notas.
A ∪ B	União de conjuntos	Lê-se "A união B" Ex: A={2,4,7,10} B={1,3,5,6,8,9} A ∪ B = {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}
A ∩ B	Intersecção de conjuntos	Lê-se como "A intersecção B" Ex: A={1,3,5,7,9,10} B={3,5,6,7,8,9} A ∩ B={3,5,7,9}
A - B	Diferença de conjuntos	Lê-se "diferença de A com B". É o conjunto de todos os elementos que pertencem ao conjunto A e não pertencem ao conjunto B. Ex: A-B = {X | x ∈ A e x ∉ B}
⟹	Implica	A: Lisboa é a capital de Portugal B: Lisboa é uma cidade Portuguesa A⟹ B Ex: sendo verdadeira a afirmação que está antes do símbolo, então também é verdadeira a afirmação após o mesmo. Por exemplo, “Lisboa é a capital de Portugal” implica que “Lisboa é uma cidade Portuguesa”.
|	Tal que	Ex: R+ = {x ∈ R | x ³ ≥ 0} significa que R+ é o conjuntos dos números pertencentes aos reais TAL QUE esses números sejam maiores ou iguais a zero.
∨	Ou (lógico)	Ex: p: Ana gosta de ler q: Ana gosta de Escrever p ∨ q Ana gosta de ler ou escrever.
∧	E (lógico)	Ex: p: Patrícia tem um cão q: Patrícia tem uma tartaruga p ∧ q Patrícia tem um cão e uma tartaruga.
~	Negação (lógica)	Ex: p: Pedro irá ao recreio. ~p: Pedro não irá ao recreio.
n!	n factorial	definição de n fatorial: n!=n.(n-1).(n-2)...3.2.1 Ex: Para n=4, teríamos: n! = 4*3*2*1 ou 4! (4 fatorial)= 4x3x2x1= 24, logo, 4!=24 o símbolo que parece um ponto de exclamação, em matemática designa-se por fatorial.
π	Número pi	O número é definido como sendo a razão entre a circunferência de um círculo e o seu diâmetro. Mas este número tem outras personalidades. É também um número irracional e um número transcendente. π = 3,141592653...
∞	Infinito	Este símbolo foi criado pelo matemático Inglês John Wallis (1616-1703) para representar a "aritmética Infinitorum".
∑	Somatório	A k-ésima soma parcial da série  ∑ ax é Sk = a1 + a2 + ... + ak. Ex:  ∑ (2/5) π = ∑(2/5)=2/5  +4/25  +8/25+⋯+2 ᵡ/5 ᵡ+⋯  (π é expoente) an = (2/5) ᵡ =2ᵡ/5 ᵡ
∫	Integral	Existem várias regras de integração. Exemplo de uma das regras: A integral do seno é "menos" o cosseno "mais" a constante ∫ senx dx= - cosx + Ca
lim	Limite	Ex: lim┬(x⟶1)(2x+├ 1)=3┤ Indica que 3 é o limite da função 2x+1 quando x tende a 1.
log	Logaritmo	Ex: log28 = 3 O logaritmo de 8 na base 2 é 3, pois elevando 2 ao expoente 3 obtemos 8. Nunca esqueça, se não tiver base no logarítmo, definimos como sendo na base 10.
ln	Logaritmo neperiano	logarítmo natural logen = y Logarítimo neperiano é o logarítmo cuja base é o numero "e". e = 2,718281828.... Ex: log e 8 = 2,079441542... porque e 2,079441542 = 8

tabela de símbolos matemáticos e sua designação (2ª parte)

Q	Números racionais	Quando dividimos um número inteiro (a) por outro número inteiro (b) obtemos um número racional. Todo o número racional é representado por uma parte inteira e uma parte fracionária. A letra Q deriva da palavra inglesa quotient, que significa quociente, já que um número racional é um quociente de dois números inteiros. Por exemplo, se a = 6 e b = 2, obtemos o número racional 3,0. Se a = 1 e b = 2, obtemos o número racional 0,5. Ambos têm um número finito de casas após a vírgula e são chamados de racionais de décimal exata. Existem casos em que o número de casas após a vírgula é infinito. Por exemplo, a = 1 e b = 3, se dividirmos estes dois, dá-nos o número racional 0,33333... É a chamada dízima periódica, ou seja, após a vírgula o número é sempre o mesmo, neste caso é o número 3. Podemos considerar que os números racionais englobam todos os números inteiros e os que ficam situados nos intervalos entre os números inteiros. Q = {a/b | a Z e b Z*}. Lembre-se que não existe divisão por zero!. Q* é o símbolo usado para indicar o conjunto de números racionais não-nulos: Q* = {x Q | x 0} Q+ é o símbolo usado para indicar o conjunto de números racionais não-negativos: Q+ = {x Q | x 0} Q- é o símbolo usado para indicar o conjunto de números racionais não-positivos: Q- = {x Q | x 0} Q*+ é o símbolo usado para indicar o conjunto de números racionais positivos: Q*+ = {x Q | x > 0} Q*- é o símbolo usado para indicar o conjunto de números racionais negativos: Q*- = {x Q | x < 0}
I	Números irracionais	Quando a divisão de dois números tem como resultado um número com infinitas casas depois da vírgula, que não se repetem periodicamente, obtemos um número chamado irracional. O número irracional mais famoso é o pi.
R	Números reais	O conjunto dos números reais é o conjunto formado por todos os números racionais e irracionais, representado pela letra R. R* é o símbolo usado para indicar o conjunto dos números reais sem o zero, ou seja, o símbolo R* é usado para representar o conjunto dos números reais não-nulos: R* = R - {0} R+ é o símbolo usado para indicar o conjunto de números reais não-negativos: R+ = {x R | x 0} R- é o símbolo usado para indicar o conjunto de números reais não-positivos: R- = {x R | x 0} R*+ é o símbolo usado para indicar o conjunto de números reais positivos: R*+ = {x R | x > 0} R*- é O símbolo usado para indicar o conjunto de números reais negativos: R*- = {x R | x < 0}
C	Números complexos	Um número complexo é representado por a+bi, sendo a a parte real e b a parte imaginária. Unidade imaginária: É representada pela letra i, define-se como sendo a raiz quadrada de -1. Pode-se dizer-se então que: i = √(-1).
< e >	Comparação	É menor que, é maior que 3 < 5 (3 é menor que 5) 5 > 3 (5 é maior que 3)
≤  e  ≥	Comparação	É menor ou igual a, é maior ou igual a x ≤ y (x é menor ou igual a y); x  ≥ y (x é maior ou igual a y)
{ , }	Chavetas	O conjunto de... Ex: {1,2,3} representa o conjunto composto por 1,2 e 3.
Ø ou        { }	Conjunto vazio	Indica que o conjunto não tem elementos, logo é um conjunto vazio. Ex: A={3,5,7} B={4, 6,8} A B= Ø ou {}
"	Para todo	Significa "Para todo" ou "Para qualquer que seja". Ex: "x > 0, x é positivo. Significa que para qualquer x maior que 0, x é positivo.
∈	Pertence	Indica relação de pertinência. Ex: 7 ∈ N. Significa que o 7 pertence aos números naturais.
∉	Não pertence	Não pertence. Ex: -3 ∉ N. Significa que o número -3 não pertence aos números naturais.